4. Упростить

Решение:

А) $$2\operatorname{tg}\frac{\pi}{8} - \operatorname{ctg}\frac{\pi}{8}$$

1. Представим $$\operatorname{ctg}\frac{\pi}{8}$$ как $$\frac{1}{\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}}$$:
• $$2\operatorname{tg}\frac{\pi}{8} - \frac{1}{\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}}$$.
2. Приведем к общему знаменателю:
• $$\frac{2\operatorname{tg}^2\frac{\pi}{8} - 1}{\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}}$$.
3. Воспользуемся формулой двойного угла для тангенса: $$\operatorname{tg}(2x) = \frac{2\operatorname{tg}x}{1-\operatorname{tg}^2x}$$.
4. Преобразуем числитель: $$2\operatorname{tg}^2\frac{\pi}{8} - 1$$.
5. Преобразуем знаменатель: $$\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}$$.
6. Перепишем выражение:
• $$\frac{2\operatorname{tg}^2\frac{\pi}{8} - 1}{\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}} = \frac{-(1-2\operatorname{tg}^2\frac{\pi}{8})}{\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}}$$.
7. Значение $$\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}$$ можно вычислить отдельно, но в данном виде упрощение ограничено.

А) $$2\operatorname{tg}\frac{\pi}{8} - \operatorname{ctg}\frac{\pi}{8} = \frac{2\operatorname{tg}^2\frac{\pi}{8} - 1}{\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}}$$

Б) $$\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{\pi}{3} - \operatorname{ctg}\frac{\pi}{3}$$

1. Вычислим значения тригонометрических функций:
• $$\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$$.
• $$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.
• $$\operatorname{ctg}\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$.
2. Подставим значения в выражение:
• $$1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3}$$.
3. Приведем к общему знаменателю:
• $$\frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}$$.

Б) $$\frac{\sqrt{3}}{6}$$

В) $$\sin\frac{23\pi}{4} - \cos^2\frac{25\pi}{4} + \operatorname{tg}\pi$$

1. Упростим аргументы тригонометрических функций:
• $$\frac{23\pi}{4} = \frac{24\pi - \pi}{4} = 6\pi - \frac{\pi}{4}$$.
• $$\frac{25\pi}{4} = \frac{24\pi + \pi}{4} = 6\pi + \frac{\pi}{4}$$.
2. Используем периодичность и формулы приведения:
• $$\sin(6\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$.
• $$\cos(6\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.
• $$\operatorname{tg}\pi = 0$$.
3. Подставим значения в выражение:
• $$(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{2}+1}{2}$$.

В) $$-\frac{\sqrt{2}+1}{2}$$

Г) $$\sin^2\frac{11\pi}{6} + \cos^2\frac{11\pi}{6}$$

1. Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2x + \cos^2x = 1$$.
2. В данном случае $$x = \frac{11\pi}{6}$$.
3. Следовательно, выражение равно 1.

Г) 1