4. Упростить выражение: \(\frac{3a}{a-3} + \frac{a+5}{54} - \frac{6-2a}{5a+a^2}\)

4. Упрощение выражения:

Чтобы упростить выражение, приведем все дроби к общему знаменателю. Предварительно разложим знаменатели на множители:

\(a-3\)

\(54\)

\(5a+a^2 = a(5+a)\)

Общий знаменатель будет \(54a(a-3)(a+5)\). Приведем дроби к общему знаменателю:

\(\frac{3a}{a-3} = \frac{3a \cdot 54a(a+5)}{(a-3) \cdot 54a(a+5)} = \frac{162a^2(a+5)}{54a(a-3)(a+5)}\)

\(\frac{a+5}{54} = \frac{(a+5) \cdot a(a-3)}{54 \cdot a(a-3)} = \frac{a(a+5)(a-3)}{54a(a-3)(a+5)}\)

\(\frac{6-2a}{a(5+a)} = \frac{(6-2a) \cdot 54}{(a(5+a)) \cdot 54} = \frac{54(6-2a)}{54a(a+5)}\)

Теперь сложим числители:

\(\frac{162a^2(a+5) + a(a+5)(a-3) - 54(6-2a)}{54a(a-3)(a+5)}\)

Раскроем скобки в числителе:

\(162a^3 + 810a^2 + a(a^2+2a-15) - 324 + 108a\)

\(162a^3 + 810a^2 + a^3 + 2a^2 - 15a - 324 + 108a\)

Приведем подобные члены:

\(163a^3 + 812a^2 + 93a - 324\)

Таким образом, упрощенное выражение:

\(\frac{163a^3 + 812a^2 + 93a - 324}{54a(a-3)(a+5)}\)

Ответ: \(\frac{163a^3 + 812a^2 + 93a - 324}{54a(a-3)(a+5)}\)