4. Упростите: а) (a+b)/(a+2a^{0,5}b^{0,5}+b) : ((a^{0,5}+b^{0,5})/(a^{0,5}−b^{0,5}) − 2a^{0,5}b^{0,5}/(a−b)).

Положим \(u=\sqrt a\), \(v=\sqrt b\). Тогда \(a+b+2\sqrt{ab}=(u+v)^2\), а \(a-b=(u-v)(u+v)\).

Выражение в скобках:

\(\frac{u+v}{u-v}-\frac{2uv}{(u-v)(u+v)}=\frac{(u+v)^2-2uv}{(u-v)(u+v)}=\frac{u^2+v^2}{(u-v)(u+v)}=\frac{a+b}{a-b}\).

Первая дробь равна \(\frac{a+b}{(\sqrt a+\sqrt b)^2}\). Деление на дробь заменим умножением на обратную:

\(\frac{a+b}{(\sqrt a+\sqrt b)^2}\cdot\frac{a-b}{a+b}=\frac{a-b}{(\sqrt a+\sqrt b)^2}=\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b}\).

Выражение определено при неотрицательных \(a,b\) и ненулевых знаменателях исходной записи.

Ответ: \(\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b}\).