4. Упростите рациональное выражение: \(\left(\dfrac{y}{y-z}-\dfrac{z}{y+z}\right):\dfrac{y^2+z^2}{y^2-z^2}\).

Сначала приведём разность в скобках к общему знаменателю:

\(\dfrac{y}{y-z}-\dfrac{z}{y+z}=\dfrac{y(y+z)-z(y-z)}{(y-z)(y+z)}\).

Раскроем скобки в числителе: \(y(y+z)-z(y-z)=y^2+yz-yz+z^2=y^2+z^2\). Поэтому

\(\left(\dfrac{y}{y-z}-\dfrac{z}{y+z}\right):\dfrac{y^2+z^2}{y^2-z^2}=\dfrac{y^2+z^2}{y^2-z^2}\cdot\dfrac{y^2-z^2}{y^2+z^2}=1\).

Исходное выражение определено при \(y-z\ne0\), \(y+z\ne0\) и \(y^2+z^2\ne0\). Для действительных переменных это означает \(y\ne z\), \(y\ne -z\) и \((y,z)\ne(0,0)\).

Ответ: \(1\).