4. Упростите выражение: ( 16/(16-x²) + 2/(x-4) ) * (x²+8x+16)/6

Решение:

Сначала упростим выражение в первой скобке, приведя к общему знаменателю:

\[ \frac{16}{16-x^2} + \frac{2}{x-4} \]

Заметим, что \( 16 - x^2 = (4-x)(4+x) \), и \( x-4 = -(4-x) \). Поэтому знаменатель \( 16-x^2 \) можно переписать как \( -(x^2-16) \) или \( -(4-x)(4+x) \). Для удобства приведения к общему знаменателю, представим \( x-4 \) как \( -(4-x) \) и \( 16-x^2 \) как \( (4-x)(4+x) \).

\[ \frac{16}{(4-x)(4+x)} - \frac{2}{4-x} \]

Общий знаменатель — \( (4-x)(4+x) \). Приведем вторую дробь к общему знаменателю:

\[ \frac{16}{(4-x)(4+x)} - \frac{2(4+x)}{(4-x)(4+x)} \]\[ \frac{16 - (8 + 2x)}{(4-x)(4+x)} \]\[ \frac{16 - 8 - 2x}{(4-x)(4+x)} \]\[ \frac{8 - 2x}{(4-x)(4+x)} \]

Теперь умножим на вторую дробь:

\[ \frac{8 - 2x}{(4-x)(4+x)} \cdot \frac{x^2+8x+16}{6} \]

Заметим, что \( x^2+8x+16 = (x+4)^2 \) и \( 8-2x = -2(x-4) = 2(4-x) \). Знаменатель \( (4-x)(4+x) \) можно переписать как \( (4-x)(x+4) \).

\[ \frac{2(4-x)}{(4-x)(4+x)} \cdot \frac{(x+4)^2}{6} \]

Сократим \( (4-x) \) и один \( (x+4) \):

\[ \frac{2}{1} \cdot \frac{x+4}{6} \]

Сократим 2 и 6:

\[ \frac{x+4}{3} \]

Ответ: \( \frac{x+4}{3} \).