Из пункта А отправили по течению реки вёсельную лодку. Через 1 ч 30 мин вслед за ним из пункта А вышел катер, который догнал лодку на расстоянии 20 км от А. С какой скоростью двигалась лодка, если известно, что катер шёл быстрее её на 12 км/ч?

Решение:

Дано:

• Расстояние \( S = 20 \) км.
• Время лодки в пути до момента выхода катера \( t_{задержки} = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 1.5 \) ч.
• Скорость катера на \( 12 \) км/ч больше скорости лодки.

Найти:

• Скорость лодки \( v_{лодки} \).

Решение:

Пусть \( v_{лодки} \) — скорость лодки (в км/ч), а \( v_{катера} \) — скорость катера (в км/ч).

По условию, \( v_{катера} = v_{лодки} + 12 \).

Лодка проплыла \( 20 \) км. Время, которое затратила лодка на этот путь, равно:

\[ t_{лодки} = \frac{S}{v_{лодки}} = \frac{20}{v_{лодки}} \]

Катер догнал лодку на расстоянии \( 20 \) км. Время, которое затратил катер на этот путь, равно:

\[ t_{катера} = \frac{S}{v_{катера}} = \frac{20}{v_{лодки} + 12} \]

Катер вышел на \( 1.5 \) часа позже лодки. Следовательно, время движения лодки на \( 1.5 \) часа больше времени движения катера:

\[ t_{лодки} = t_{катера} + 1.5 \]

Подставим выражения для времени:

\[ \frac{20}{v_{лодки}} = \frac{20}{v_{лодки} + 12} + 1.5 \]

Чтобы решить это уравнение, приведем все к общему знаменателю:

\[ \frac{20}{v_{лодки}} - \frac{20}{v_{лодки} + 12} = 1.5 \]

Общий знаменатель — \( v_{лодки}(v_{лодки} + 12) \).

\[ \frac{20(v_{лодки} + 12) - 20v_{лодки}}{v_{лодки}(v_{лодки} + 12)} = 1.5 \]\[ \frac{20v_{лодки} + 240 - 20v_{лодки}}{v_{лодки}^2 + 12v_{лодки}} = 1.5 \]\[ \frac{240}{v_{лодки}^2 + 12v_{лодки}} = 1.5 \]

Теперь перемножим крест-накрест:

\[ 240 = 1.5(v_{лодки}^2 + 12v_{лодки}) \]

Разделим обе части на 1.5:

\[ \frac{240}{1.5} = v_{лодки}^2 + 12v_{лодки} \]\[ 160 = v_{лодки}^2 + 12v_{лодки} \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ v_{лодки}^2 + 12v_{лодки} - 160 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-160) = 144 + 640 = 784 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{784} = 28 \).

Найдем корни:

\[ v_{лодки} = \frac{-12 \pm 28}{2} \]

Два возможных значения:

\[ v_{лодки,1} = \frac{-12 + 28}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]\[ v_{лодки,2} = \frac{-12 - 28}{2} = \frac{-40}{2} = -20 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

Ответ: Скорость лодки составляла 8 км/ч.