4. Упростите выражение (3/(x^(1/3) − y^(1/3)) − 3/(x^(1/3) + y^(1/3))) : (2x^(2/3)y^(1/3)/(x^(2/3) − y^(2/3))).

Обозначим \(u=x^{1/3}\), \(v=y^{1/3}\). Тогда \(x^{2/3}=u^2\), \(y^{2/3}=v^2\).

Сначала упростим разность дробей:

\(\frac{3}{u-v}-\frac{3}{u+v}=\frac{3(u+v)-3(u-v)}{(u-v)(u+v)}=\frac{6v}{u^2-v^2}.\)

Теперь разделим на вторую дробь:

\(\frac{6v}{u^2-v^2}:\frac{2u^2v}{u^2-v^2}=\frac{6v}{u^2-v^2}\cdot\frac{u^2-v^2}{2u^2v}=\frac{3}{u^2}=\frac{3}{x^{2/3}}.\)

Для исходного выражения необходимо, чтобы знаменатели были ненулевыми и делитель не равнялся нулю: \(x\ne0\), \(y\ne0\), \(x\ne y\), \(x\ne-y\).

Ответ: \(\frac{3}{x^{2/3}}\), при \(x\ne0\), \(y\ne0\), \(x\ne\pm y\).