5. Упростите выражение ((⁴√(x^3) + ⁴√x + x^(−1/4))/((⁴√x + x^(−1/4) + 1)(⁴√x + x^(−1/4) − 1)) + ⁴√x)^(−4) и найдите его значение при x = 0,0125.

Положим \(t=\sqrt[4]{x}\). Из-за чётного корня и отрицательной степени необходимо \(x>0\). Тогда \(\sqrt[4]{x^3}=t^3\), а \(x^{-1/4}=t^{-1}\).

Преобразуем дробь внутри скобок:

\((t+t^{-1}+1)(t+t^{-1}-1)=(t+t^{-1})^2-1=t^2+1+t^{-2}.\)

Числитель равен \(t^3+t+t^{-1}=t(t^2+1+t^{-2})\), поэтому дробь равна \(t\). Всё выражение становится \((t+t)^{-4}=(2t)^{-4}=1/(16x)\).

При \(x=0{,}0125=1/80\): \(1/(16x)=1/(16\cdot1/80)=5\).

Ответ: упрощённое выражение — \(\frac{1}{16x}\); при \(x=0{,}0125\) его значение равно 5.