4. Упростите выражение ( 6/(x²-9) + 1/(3-x) ) * (x²+6x+9)/5

Решение:

Приведём дроби в первой скобке к общему знаменателю \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \). Учтём, что \( 3-x = -(x-3) \).

\( \frac{6}{(x-3)(x+3)} - \frac{1}{x-3} \)

Общий знаменатель \( (x-3)(x+3) \).

\( \frac{6}{(x-3)(x+3)} - \frac{x+3}{(x-3)(x+3)} = \frac{6 - (x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{6 - x - 3}{(x-3)(x+3)} = \frac{3 - x}{(x-3)(x+3)} \)

Теперь умножим на вторую дробь:

\( \frac{3-x}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{x^2+6x+9}{5} \)

Заметим, что \( 3-x = -(x-3) \) и \( x^2+6x+9 = (x+3)^2 \).

\( \frac{-(x-3)}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{(x+3)^2}{5} \)

Сократим \( (x-3) \) и \( (x+3) \):

\( \frac{-1}{1} \cdot \frac{x+3}{5} = \frac{-(x+3)}{5} = \frac{-x-3}{5} \)

Ответ: \( \frac{-x-3}{5} \).