4. Упростите выражение $$\frac{(x^{-4})^2 \cdot x^9}{x^{-1}}$$.

Решение:

1. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{mn} \): \( (x^{-4})^2 = x^{-4 \cdot 2} = x^{-8} \).
2. Подставим полученное значение в выражение: \[ \frac{x^{-8} \cdot x^9}{x^{-1}} \]
3. Используем свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \( x^{-8} \cdot x^9 = x^{-8+9} = x^1 = x \).
4. Подставим полученное значение в выражение: \[ \frac{x}{x^{-1}} \]
5. Используем свойство степени \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( \frac{x}{x^{-1}} = x^{1 - (-1)} = x^{1+1} = x^2 \).

Ответ: \( x^2 \).