5. Решите систему неравенств $$\begin{cases} x^2 - 6x + 8 \le 0 \\ 3x - 8 \ge 0 \end{cases}$$

Решение:

1. Решим первое неравенство: \( x^2 - 6x + 8 \le 0 \). Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 6x + 8 = 0 \). Дискриминант \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \). Корни: \( x_1 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4 \). Парабола \( y = x^2 - 6x + 8 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 6x + 8 \le 0 \) при \( 2 \le x \le 4 \).
2. Решим второе неравенство: \( 3x - 8 \ge 0 \). \( 3x \ge 8 \) \( x \ge \frac{8}{3} \).
3. Найдем пересечение решений: Нам нужно найти такие \( x \), которые удовлетворяют обоим условиям: \( 2 \le x \le 4 \) и \( x \ge \frac{8}{3} \). Так как \( \frac{8}{3} \approx 2.67 \), то пересечением будет промежуток \( \frac{8}{3} \le x \le 4 \).

Ответ: \([\frac{8}{3}; 4]\).