4. Упростите выражения: левая колонка — а) (sin 7α + sin α)/(cos 7α + cos α); б) (sin α + cos α)² − 1. Правая колонка — а) (cos 7α − cos 3α)/(sin 7α + sin 3α); б) (cos α − sin α)² − 1.

Левая колонка.

а) По формулам суммы в произведение: sin 7α + sin α = 2 sin 4α cos 3α, cos 7α + cos α = 2 cos 4α cos 3α. Следовательно, дробь сокращается до tg 4α там, где исходная дробь определена.

б) Раскрываем квадрат: sin²α + 2 sin α cos α + cos²α − 1 = 2 sin α cos α = sin 2α.

Правая колонка.

а) cos 7α − cos 3α = −2 sin 5α sin 2α; sin 7α + sin 3α = 2 sin 5α cos 2α. После сокращения получаем −tg 2α там, где исходная дробь определена.

б) cos²α − 2 sin α cos α + sin²α − 1 = −2 sin α cos α = −sin 2α.

Ответ: левая колонка: а) tg 4α; б) sin 2α. Правая колонка: а) −tg 2α; б) −sin 2α.