5. Докажите тождество: левая колонка — cos²(α − β) − cos²(α + β) = sin 2α · sin 2β; правая колонка — sin²(α + β) − sin²(α − β) = sin 2α · sin 2β.

Левая колонка. Применим формулу разности квадратов и тождество cos x − cos y = −2 sin((x + y)/2) sin((x − y)/2):

cos²(α − β) − cos²(α + β) = [cos(α − β) − cos(α + β)][cos(α − β) + cos(α + β)] = (2 sin α sin β)(2 cos α cos β) = sin 2α · sin 2β.

Правая колонка. Применим формулу разности квадратов:

sin²(α + β) − sin²(α − β) = [sin(α + β) − sin(α − β)][sin(α + β) + sin(α − β)] = (2 cos α sin β)(2 sin α cos β) = sin 2α · sin 2β.

Обе записи являются тождествами.