4. Урмат нашёл НОД чисел 14, 18 и 37 следующим образом. Шаг 1. Нашёл НОД 18 и 37. НОД (18, 37) = 1. Шаг 2. Нашёл НОД 14 и числа, полученного в шаге 1. НОД (14, 1) = 1. Таким образом, НОД чисел 14, 18 и 37 = 1. Проанализируйте его способ. Как его можно улучшить? Что можно сказать о нахождении НОД трёх и более чисел?

Способ Урмата правильный: НОД нескольких чисел можно находить последовательно, заменяя группу чисел её НОД.

Используем свойство:

\(\operatorname{НОД}(a,b,c)=\operatorname{НОД}(\operatorname{НОД}(a,b),c)\).

В данном случае уже на первом шаге получилось \(\operatorname{НОД}(18,37)=1\). Так как НОД любого числа и единицы равен единице, второй шаг сразу даёт результат: \(\operatorname{НОД}(14,1)=1\).

Способ можно улучшить, применяя алгоритм Евклида: делить большее число на меньшее и заменять пару чисел на меньшее число и остаток, пока остаток не станет равен нулю. Для трёх и более чисел алгоритм повторяют последовательно: сначала находят НОД первых двух чисел, затем НОД полученного результата с третьим числом и так далее.

Ответ: НОД трёх и более чисел находят последовательно; в этом примере НОД(14, 18, 37) = 1.