4. В четырёхугольнике ABCD проведена диагональ AC. Известно, что AB = CD и ∠BAC = ∠DCA. Докажите, что BC = AD.

Рассмотрим треугольники BAC и DCA.

1. AB = CD по условию, AC — общая сторона.
2. Угол BAC равен углу DCA по условию; это углы между указанными сторонами.
3. Следовательно, треугольники BAC и DCA равны по двум сторонам и углу между ними.
4. Их соответствующие стороны BC и AD равны.

Ответ: BC = AD.