4. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите: а) угол между прямыми AB и BC₁; б) угол между прямыми DA₁ и BD₁; в) угол между прямой AD₁ и плоскостью ABCD; г) угол между прямой B₁D и плоскостью ABB₁A₁.

Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\); верхние вершины имеют ту же пару первых координат и третью координату 1.

1. Направляющий вектор AB — \((1,0,0)\), а BC₁ — \((0,1,1)\). Их скалярное произведение равно 0, поэтому угол равен 90°.

2. Направляющие векторы DA₁ и BD₁ можно взять равными \((0,-1,1)\) и \((-1,1,1)\). Для угла между прямыми берём острый угол: \(\cos\varphi=\frac{|(0,-1,1)\cdot(-1,1,1)|}{\sqrt2\sqrt3}=\sqrt{\frac23}\). Следовательно, \(\varphi=\arccos\sqrt{\frac23}\).

3. У прямой AD₁ горизонтальная проекция на плоскость ABCD — AD. Вертикальное смещение и длина проекции равны 1, поэтому \(\tan\varphi=1\), откуда \(\varphi=45°\).

4. Плоскость ABB₁A₁ задаётся условием \(y=0\). Для направляющего вектора B₁D, равного \((-1,1,-1)\), перпендикулярная плоскости составляющая имеет длину 1, а длина вектора равна \(\sqrt3\). Поэтому \(\sin\varphi=\frac1{\sqrt3}\), то есть \(\varphi=\arcsin\frac1{\sqrt3}=\arctan\frac1{\sqrt2}\).

Ответ: а) 90°; б) \(\arccos\sqrt{\frac23}\); в) 45°; г) \(\arcsin\frac1{\sqrt3}\).