4. В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние от точки A до плоскости (BDA₁).

Введём координаты вершин единичного куба: \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(D(0;1;0)\), \(A_1(0;0;1)\).

Плоскость, проходящая через эти три точки, имеет уравнение \(x+y+z=1\): каждую из точек B, D и A₁ удовлетворяет этому уравнению.

Расстояние от A до этой плоскости:

\(d=\frac{|0+0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt3}\).

Ответ: \(\frac{1}{\sqrt3}\).