4. В окружности с центром О АС и BD — диаметры. Угол АСВ равен 26°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• Окружность с центром O.
• AC и BD - диаметры.
• ∠ACB = 26°.

Найти:

• ∠AOD.

Решение:

1. Угол ∠ACB является вписанным углом, опирающимся на дугу AB.
2. Градусная мера дуги AB равна удвоенной мере вписанного угла, опирающегося на нее: дуга AB = 2 * ∠ACB = 2 * 26° = 52°.
3. Угол ∠AOD является центральным углом, опирающимся на дугу AD. Нет, ∠AOD опирается на дугу AD.
4. AC - диаметр, значит, дуга ABC = 180°.
5. BD - диаметр, значит, дуга BCD = 180°.
6. Угол ∠AOD является центральным углом. Он опирается на дугу AD.
7. Угол ∠AOD и угол ∠BOC - вертикальные, следовательно, равны.
8. Угол ∠AOB и угол ∠COD - вертикальные, следовательно, равны.
9. Угол ∠ACB = 26°. Он опирается на дугу AB. Значит, дуга AB = 2 * 26° = 52°.
10. Угол ∠AOB - центральный угол, опирающийся на дугу AB. Следовательно, ∠AOB = дуга AB = 52°.
11. Угол ∠AOD и ∠AOB являются смежными, так как AC - диаметр (линия).
12. ∠AOD + ∠AOB = 180°.
13. ∠AOD = 180° - ∠AOB = 180° - 52° = 128°.
14. Другой способ:
15. Угол ∠ACB = 26°. Так как AC - диаметр, то угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
16. Угол ∠ABC вписан и опирается на диаметр AC. Нет, AC - диаметр, значит, угол ABC = 90°.
17. В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°.
18. ∠BAC + 90° + 26° = 180°.
19. ∠BAC = 180° - 90° - 26° = 64°.
20. Угол ∠BAC (или ∠OAB) является центральным углом, опирающимся на дугу BC. Нет, ∠BAC - вписанный.
21. Угол ∠BAC = 64°. Он опирается на дугу BC. Значит, дуга BC = 2 * 64° = 128°.
22. Угол ∠AOD - центральный, и он равен дуге AD.
23. Угол ∠BOC - центральный, и он равен дуге BC.
24. Угол ∠AOD и ∠BOC - вертикальные, значит, ∠AOD = ∠BOC.
25. Дуга BC = 128°. Значит, ∠BOC = 128°.
26. Следовательно, ∠AOD = 128°.

Ответ: 128°