4. В основании пирамиды с вершиной E(−1; 2; −1) лежит четырёхугольник. Точки M(0; 0; 4), H(0; 4; 4), K(4; 4; 0), P(4; 0; 0) являются основаниями высот боковых граней. а) Покажите, что все боковые грани пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания. б) Найдите координаты основания высоты пирамиды.

Плоскость основания проходит через точки M, H, K. Векторы MH = (0; 4; 0) и MK = (4; 4; −4), поэтому нормаль к плоскости можно взять n = (1; 0; 1). Подставляя координаты M, получаем уравнение плоскости основания: x + z = 4. Точка P также лежит в этой плоскости.

Основание высоты пирамиды — проекция E на плоскость x + z = 4. Направление перпендикуляра задаёт вектор (1; 0; 1), поэтому искомая точка имеет вид (−1; 2; −1) + t(1; 0; 1). Из условия −2 + 2t = 4 получаем t = 3.

Расстояние от E до плоскости основания равно 3√2. Однако по данным изображения нельзя проверить пункт а): не указаны вершины четырёхугольника основания или дополнительные условия, связывающие его стороны с точками M, H, K, P. Координаты оснований высот сами по себе не определяют углы между боковыми гранями и плоскостью основания.

Ответ: б) (2; 2; 2). Для доказательства пункта а) нужны дополнительные сведения о вершинах или сторонах основания.