6. В пирамиде EABCD ребро EA является её высотой. Четырёхугольник ABCD — трапеция, AD = 6, AB = 14, AE = √12, ∠CAD = 45°. а) Найдите длину медианы EM грани EBC. б) Найдите расстояние от вершины A до точки пересечения медиан грани EDC.

В условии не указано, какие стороны трапеции параллельны. Приведённые вычисления используют обычное для этой конфигурации предположение \(AB\parallel CD\), при котором четырёхугольник ABCD выпуклый.

Положим \(A=(0;0;0)\), \(D=(0;6;0)\), а AB направим вдоль оси x. Из \(\angle CAD=45^\circ\) и \(AD=6\) следует, что горизонтальная проекция AC равна 6; при \(AB\parallel CD\) получаем \(C=(6;6;0)\), \(B=(14;0;0)\). Поскольку EA — высота, \(E=(0;0;\sqrt{12})\).

а) Находим квадраты сторон треугольника EBC: \(EB^2=14^2+12=208\), \(EC^2=6^2+6^2+12=84\), \(BC^2=8^2+6^2=100\). По формуле медианы:

\(EM^2=\frac{2EB^2+2EC^2-BC^2}{4}=\frac{416+168-100}{4}=121\), значит, \(EM=11\).

б) Точка пересечения медиан треугольника EDC имеет координаты, равные средним координатам его вершин: \(G=(2;4;\sqrt{12}/3)\). Поэтому

\(AG^2=2^2+4^2+(\sqrt{12}/3)^2=20+\frac{4}{3}=\frac{64}{3}\), откуда \(AG=\frac{8}{\sqrt3}=\frac{8\sqrt3}{3}\).

Ответ при условии \(AB\parallel CD\): а) 11; б) \(\frac{8\sqrt3}{3}\).