7. В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит треугольник с прямым углом A. Точки K и E — середины рёбер A₁B₁ и AC соответственно, M является точкой пересечения диагоналей грани AA₁B₁B. Точка P делит отрезок C₁C в отношении 2:1, считая от вершины C. Используя метод координат, докажите, что прямые KE и MP скрещиваются.

Зададим координаты прямой призмы: \(A=(0;0;0)\), \(B=(b;0;0)\), \(C=(0;c;0)\), а высота призмы равна h. Тогда \(A_1=(0;0;h)\), \(B_1=(b;0;h)\), \(C_1=(0;c;h)\).

Координаты заданных точек:

\(K=(b/2;0;h)\), \(E=(0;c/2;0)\), \(M=(b/2;0;h/2)\). Так как \(CP:PC_1=2:1\), имеем \(P=(0;c;2h/3)\).

Направляющий вектор прямой KE: \(\overrightarrow{KE}=(-b/2;c/2;-h)\). Направляющий вектор прямой MP: \(\overrightarrow{MP}=(-b/2;c;h/6)\). Эти векторы не пропорциональны: из равенства первых координат коэффициент пропорциональности был бы 1, но тогда вторые координаты потребовали бы \(c/2=c\), что невозможно при \(c>0\). Значит, прямые не параллельны.

Покажем, что они не пересекаются. Точка на KE имеет вид \(K+t(E-K)\), а точка на MP — \(M+s(P-M)\). Равенство первых координат даёт \(t=s\), равенство вторых — \(t/2=s\). Следовательно, \(t=s=0\), но равенство третьих координат тогда потребовало бы \(h=h/2\), что невозможно при \(h>0\). Прямые не пересекаются и не параллельны, следовательно, они скрещиваются.

Что и требовалось доказать.