5. В пирамиде DABC ребро AD является её высотой, AC = 18, AB = 12, AD = 5, ∠CAB = 90°. а) Найдите длину медианы DM грани BDC. б) Найдите расстояние от вершины пирамиды до точки пересечения медиан основания.

а) Так как AD перпендикулярно плоскости основания, треугольники ADB и ADC прямоугольные:

\(DB^2=AB^2+AD^2=12^2+5^2=169\), значит, \(DB=13\).

\(DC^2=AC^2+AD^2=18^2+5^2=349\).

В прямоугольном треугольнике ABC: \(BC^2=AB^2+AC^2=12^2+18^2=468\). По формуле медианы к стороне BC:

\(DM^2=\frac{2DB^2+2DC^2-BC^2}{4}=\frac{2\cdot169+2\cdot349-468}{4}=142\), поэтому \(DM=\sqrt{142}\).

б) Обозначим через G точку пересечения медиан основания ABC. Возьмём A за начало координат, а AB и AC — направления координатных осей. Тогда \(G=(4;6;0)\), поскольку координаты центра тяжести равны средним координатам вершин A, B, C. Вершина D имеет координаты \((0;0;5)\). Следовательно,

\(DG=\sqrt{4^2+6^2+5^2}=\sqrt{77}\).

Ответ: а) \(\sqrt{142}\); б) \(\sqrt{77}\).