4. В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник, ∠BAC = 90°, AB = 3 см, BC = 6 см. Угол между плоскостью AC₁B и основанием A₁B₁C₁ призмы равен 60°. Найдите высоту призмы.

По теореме Пифагора найдём второй катет основания: \(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\) см.

Плоскость AC₁B пересекает плоскость основания ABC по прямой AB. Так как призма прямая, перпендикулярное AB сечение образует прямоугольный треугольник с горизонтальным катетом AC и вертикальным катетом, равным высоте призмы \(h\). Поэтому \(\tan 60^\circ=h/AC\).

Следовательно, \(h=AC\tan60^\circ=3\sqrt3\cdot\sqrt3=9\) см.

Ответ: 9 см.