4. В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник, ∠BAC = 90°, AC = 2 см, BC = 4 см. Угол между плоскостью ACB₁ и основанием равен 60°. Найдите высоту призмы.

Пусть H — основание перпендикуляра из B на AC. Поскольку AB ⟂ AC, точка H совпадает с A. Значит, проекция наклонной AB₁ на плоскость основания — отрезок AB, и линейный угол между плоскостью ACB₁ и основанием равен ∠ABB₁? Удобнее рассмотреть сечение плоскостью, перпендикулярной AC и проходящей через A и B₁: в нём катеты AB и высота призмы h, а угол между плоскостями задаётся углом между AB₁ и AB.

Сначала найдём AB по теореме Пифагора в треугольнике ABC: \(AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt3\) см.

Тогда \(\tan60^\circ=h/AB\), поэтому \(h=2\sqrt3\cdot\sqrt3=6\) см.

Ответ: 6 см.