№4. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и угол ACD = 111°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах. Чертёж:

Поскольку AB ∥ CD, угол между AC и AB равен углу ACD, то есть 111°. Следовательно, меньший угол между прямыми AC и AB равен 180° − 111° = 69°.

Обозначим AB = a. Тогда AC = 2a. В треугольнике ABC угол между AB и AC равен 69°. По теореме косинусов:

BC² = a² + (2a)² − 2 · a · 2a · cos 69° = a²(5 − 4 cos 69°).

Чтобы определить угол между диагоналями, рассмотрим их направления как векторы: AC = AB + AD, а BD = AD − AB. Их скалярное произведение равно AD² − AB². Данных условия недостаточно, чтобы установить это произведение или угол между диагоналями: длина AD не задана и не определяется из AB, AC и ∠BAC.

Например, можно менять длину AD, сохраняя AB = a, AC = 2a и угол BAC = 69°: вектор AD = AC − AB остаётся определённым, но условие ∠ACD = 111° фиксирует лишь угол между AC и CD (параллельной AB), а не длину AB относительно диагональной геометрии? Из заданных связей получается треугольник ABC со сторонами AB и AC и углом между ними, значит BC определяется; AD = BC в параллелограмме. Тогда направления диагоналей определяются этими данными. Для корректного вычисления положим AB = 1, AC = 2 и угол BAC = 69°. Вектор BD = 2AC − 2AB? При обозначениях векторов AB = u, AD = v, AC = u + v, следовательно, v = AC − u, а BD = v − u = AC − 2u.

Скалярное произведение AC · BD = |AC|² − 2(AC · u) = 4 − 4 cos 69°. Длины: |AC| = 2, а |BD|² = |AC − 2u|² = 4 + 4 − 8 cos 69° = 8(1 − cos 69°). Поэтому cos θ = (4 − 4 cos 69°)/(2√(8(1 − cos 69°))) = √(1 − cos 69°)/√2 = sin 34.5°.

Значит, меньший угол θ = 55.5°.

Ответ: 55,5°.