4. В плоскости квадрата ABCD со стороной 8 дм проведен перпендикуляр BE, равный 16 дм. Определите расстояние от точки E до диагоналей квадрата.

Поскольку BE перпендикулярен плоскости квадрата, расстояние от E до диагонали BD, проходящей через B, равно \(BE=16\) дм.

Для диагонали AC найдём расстояние от B до AC. Диагонали квадрата делят его на прямоугольные равнобедренные треугольники, поэтому \(d(B,AC)=\frac{8}{\sqrt2}=4\sqrt2\) дм.

Перпендикуляр от E к AC и отрезок EB образуют прямоугольный треугольник с катетами 16 и \(4\sqrt2\): \(d(E,AC)=\sqrt{16^2+(4\sqrt2)^2}=\sqrt{288}=12\sqrt2\) дм.

Ответ: до BD — 16 дм, до AC — \(12\sqrt2\) дм.