4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведена высота CF. BF = 8 см, BC = 4√5 см. Найдите площадь треугольника ABC.

Пусть F — основание высоты на гипотенузу AB. По теореме о катете \(BC^2=AB\cdot BF\).

\(AB=\frac{BC^2}{BF}=\frac{(4\sqrt5)^2}{8}=\frac{80}{8}=10\) см.

Тогда \(AF=AB-BF=10-8=2\) см. По свойству высоты, проведённой к гипотенузе, \(CF^2=AF\cdot BF=2\cdot8=16\), значит, \(CF=4\) см.

Площадь \(S=\frac12\cdot AB\cdot CF=\frac12\cdot10\cdot4=20\) см².

Ответ: 20 см².