4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) провели высоту СМ. Найдите АС, если АС = 2 см, АМ = 1 см.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) проведена высота \( CM \) к гипотенузе \( AB \).

По условию \( AC = 2 \) см и \( AM = 1 \) см. Требуется найти \( AC \), но \( AC \) уже дано.

Вероятно, в условии задачи ошибка. Скорее всего, требуется найти либо \( BC \), либо \( AB \), либо \( CM \).

Если предположить, что нужно найти \( AB \):

В прямоугольном треугольнике \( \triangle AMC \) (где \( \angle AMC = 90° \)), по теореме Пифагора:

\[ AC^2 = AM^2 + CM^2 \]

\[ 2^2 = 1^2 + CM^2 \]

\[ 4 = 1 + CM^2 \]

\[ CM^2 = 3 \implies CM = \sqrt{3} \) см.

Теперь рассмотрим \( \triangle ABC \). Высота \( CM \) обладает свойством: \( AC^2 = AM \cdot AB \).

\[ 2^2 = 1 \cdot AB \]

\[ 4 = AB \]

Если нужно найти \( BC \):

В \( \triangle ABC \) \( BC^2 = AB^2 - AC^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12 \), \( BC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) см.

Если задача именно такая, как написана, то ответ AC = 2 см.

Ответ: 2 см.