4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) провели высоту СМ. Найдите угол ABC, если AC = 2 см, AM = 1 см.

Решение:

В прямоугольном треугольнике AMC (угол ∠AMC = 90°, так как CM — высота), катет AM (1 см) противолежит углу ∠ACM, а гипотенуза AC (2 см).

По определению синуса:

\( \sin(\angle ACM) = \frac{AM}{AC} \)

\( \sin(\angle ACM) = \frac{1 \text{ см}}{2 \text{ см}} = \frac{1}{2} \)

Угол, синус которого равен 1/2, равен 30°.

\( \angle ACM = 30° \)

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( \angle ABC + \angle BAC = 90° \)

Также в прямоугольном треугольнике AMC:

\( \angle BAC + \angle ACM = 90° \)

\( \angle BAC + 30° = 90° \)

\( \angle BAC = 90° - 30° = 60° \)

Теперь найдем угол ABC:

\( \angle ABC = 90° - \angle BAC \)

\( \angle ABC = 90° - 60° = 30° \)

Ответ: Угол ABC равен 30°.