4. В прямоугольной трапеции с острым углом 60° диагональ является биссектрисой тупого угла. Найдите основания трапеции, если большая боковая сторона равна 12 см.

Пусть большая боковая сторона — наклонная. Её длина 12 см, а угол между ней и основанием равен 60°. Тогда высота трапеции равна \(12\sin60°=6\sqrt{3}\) см, а разность оснований — горизонтальная проекция наклонной стороны: \(12\cos60°=6\) см.

Обозначим меньшее основание через \(b\), а большее — через \(a\). При вершине тупого угла диагональ делит угол 120° пополам, значит, образует с основанием угол 60°. В прямоугольном треугольнике с высотой \(6\sqrt{3}\) и горизонтальным катетом \(b\) это даёт \(\tan60°=6\sqrt{3}/b\), откуда \(b=6\) см.

Тогда \(a=b+6=12\) см.

Ответ: основания равны 6 см и 12 см.