5. От двух противоположных вершин ромба на его сторонах отложены четыре равных отрезка. Докажите, что концы этих отрезков являются вершинами прямоугольника.

Обозначим ромб ABCD, а концы четырёх отложенных отрезков — последовательно E на AB, F на BC, G на CD и H на DA. Пусть длина каждого отрезка равна \(x\). Тогда \(AE=AF=CG=CH=x\).

Так как в ромбе противоположные стороны равны, \(AB=CD\) и \(BC=DA\). Поэтому \(EB=AB-x=DG\), а \(BF=BC-x=DH\).

Треугольники EBF и GDH равны по двум сторонам и углу между ними: \(EB=DG\), \(BF=DH\), а углы при B и D равны как противоположные углы ромба. Следовательно, \(EF=GH\).

Аналогично, треугольники AEH и CFG равны по двум сторонам и углу между ними: \(AE=CG\), \(AH=CF\) (каждый из этих отрезков равен стороне ромба минус \(x\)), а углы при A и C равны. Поэтому \(EH=FG\).

Полученные равенства показывают, что у четырёхугольника EFGH обе пары противоположных сторон равны. Значит, EFGH — параллелограмм. Кроме того, угол между EF и FG равен углу B ромба: соответствующие треугольники равны, и этот угол составляет половину угла B. Угол между соседними направлениями сторон построенного четырёхугольника равен половине суммы углов B и D ромба, то есть \((\angle B+\angle D)/2=90°\), поскольку \(\angle B+\angle D=180°\). Следовательно, параллелограмм EFGH имеет прямой угол и является прямоугольником.

Концы четырёх отрезков являются вершинами прямоугольника.