4. В равнобедренном прямоугольном треугольнике MOP на гипотенузе MP отмечена точка K. Известно, что ∠OKP в 4 раза больше, чем ∠MOK. Найдите углы треугольника MOK.

Пусть ∠MOK = x. Тогда ∠OKP = 4x. Так как треугольник MOP прямоугольный и равнобедренный, ∠OMP = ∠OPM = 45°. В треугольнике KOP ∠KOP = 45°, значит ∠OKP + ∠OPK = 180° - 45° = 135°. Значит 4x + ∠OPK = 135°. Также ∠OKP + ∠OKM = 180°, значит 4x + ∠OKM = 180°. В треугольнике MOK имеем ∠MOK = x, ∠OMK = 45°. Значит ∠OKM = 180° - (45° + x) = 135°- x. Подставляем в уравнение 4x+135-x=180, 3x=45 => x=15. ∠MOK=15°, ∠OKP=60°. Сумма углов треугольника MOK равна 180°. ∠OKM = 180° - (45°+15°) = 120°. В треугольнике MOK углы равны: ∠MOK = 15°, ∠OMK = 45°, ∠OKM = 120°.