6. Докажите, что прямая, параллельная стороне равностороннего треугольника и пересекающая две его стороны, отсекает равносторонний треугольник.

Пусть дан равносторонний треугольник ABC и прямая DE, параллельная стороне AC и пересекающая стороны AB и BC в точках D и E соответственно. Так как прямые DE и AC параллельны, то углы ADE и BAC, а также углы DEC и ACB являются соответственными и, следовательно, равны. Поскольку треугольник ABC равносторонний, все его углы равны 60°. Следовательно, угол ADE = угол BAC = 60° и угол DEC = угол ACB = 60°. В треугольнике DBE, ∠BDE= ∠BAC= 60°, ∠DEB= ∠BCA=60°. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, ∠DBE = 180° - 60° - 60°= 60°. Раз все углы треугольника DBE равны 60°, то треугольник DBE также равносторонний.