4. В равнобедренной трапеции ABCD проведены диагонали, пересекающиеся в точке E. а) Докажите, что треугольник ABD равен треугольнику ACD. б) Найдите основание AD, если периметр равен 42 см, AB = 5 см, а основание BC в 2 раза меньше AD.

а) В равнобедренной трапеции боковые стороны равны: AB = CD. Диагонали равны: BD = AC. Сторона AD — общая. Следовательно, треугольники ABD и ACD равны по трём сторонам.

б) Пусть AD = x см. Тогда BC = x/2 см. Периметр равен сумме оснований и боковых сторон; поскольку AB = CD = 5 см, получаем:

x + x/2 + 5 + 5 = 42.

1.5x = 32, откуда x = 64/3 = 21⅓.

Ответ: AD = 21⅓ см.