4. В равнобедренной трапеции с тупым углом 120° диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции, если большее основание трапеции равно 26 см.

Обозначим большее основание через \(B=26\) см, меньшее — через \(b\), высоту — через \(h\). Из-за равнобедренности горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна \(d=(B-b)/2\). Острый угол трапеции равен \(60°\), поэтому \(h=d\tan60°=d\sqrt3\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной и диагональю, которые перпендикулярны. Условие перпендикулярности даёт \(h^2=d(B-d)\). Подставим \(h^2=3d^2\):

\(3d^2=d(B-d)\), значит, \(3d=B-d\), откуда \(d=B/4=6.5\) см.

Боковая сторона равна \(\sqrt{d^2+h^2}=\sqrt{d^2+3d^2}=2d=13\) см.

Ответ: 13 см.