4. В ромбе TASR провели высоту AP. Оказалось, что TP = PR. а) найдите углы ромба; б) найдите периметр ромба, если его меньшая диагональ равна 38.

а) Пусть P — основание высоты из A на сторону TR. Так как TP = PR, точка P — середина TR. В прямоугольных треугольниках ATP и APR катеты AP общие, а TP = PR, поэтому треугольники равны. Следовательно, AT = AR. Но в ромбе эти стороны и так равны; важнее, что угол при T в прямоугольном треугольнике ATP равен 45°: его катеты AP и TP равны, поскольку треугольники ATP и APR симметричны относительно AP, а ∠TPA = 90°; из одного лишь равенства TP = PR равенство AP = TP не следует. Условие не определяет углы однозначно.

б) Без определённых углов условие также не позволяет однозначно связать меньшую диагональ со стороной ромба и найти периметр. Не хватает дополнительного условия, например величины угла или длины высоты.