4. В треугольнике ABC известно, что \(\angle C = 90°\), \(\angle A = 30°\), отрезок BM — биссектриса треугольника. Найдите катет AC, если BM = 6 см.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусам, а угол A равен 30 градусам, угол B равен 180 - 90 - 30 = 60 градусам. Так как BM — биссектриса, то угол ABM равен половине угла B, то есть 30 градусам. В треугольнике ABM угол BAM равен 30 градусам, угол ABM равен 30 градусам, следовательно, треугольник ABM — равнобедренный, и AM = BM = 6 см. Так как угол A равен 30 градусам, то катет BC, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы AB. Пусть BC = x, тогда AB = 2x. По теореме Пифагора, \(AC^2 + BC^2 = AB^2\). \(AC^2 + x^2 = (2x)^2\). \(AC^2 = 4x^2 - x^2 = 3x^2\). \(AC = x\sqrt{3}\). Так как AM = MC, то AC = 2AM = 12 см. AC = 12 см.