5. Известно, что BC || AD, BF = DE, ∠AED = ∠CFB (рис. 279). Докажите, что AB || CD.

Дано: BC || AD, BF = DE, ∠AED = ∠CFB. Доказать: AB || CD. Доказательство: 1. Рассмотрим углы ∠AED и ∠CFB. Они равны по условию. 2. Рассмотрим отрезки BF и DE. Они равны по условию. 3. По условию BC || AD. 4. Из условия BC || AD следует, что углы ∠CBF и ∠ADE являются накрест лежащими при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Следовательно, ∠CBF = ∠ADE. 5. Рассмотрим треугольники \(\triangle ADE\) и \(\triangle CBF\). У них: * DE = BF (по условию) * ∠ADE = ∠CBF (доказано выше) * ∠AED = ∠CFB (по условию) 6. Следовательно, \(\triangle ADE = \triangle CBF\) по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). 7. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AE = CF. 8. Рассмотрим отрезки AF и CE. AF = AE + EF и CE = CF + EF. Так как AE = CF, то AF = CE. 9. Рассмотрим четырехугольник ABCD. У него BC || AD (по условию), а также AF = CE (доказано выше). Так как стороны BC и AD параллельны и отрезки AF и CE равны, то четырехугольник ABCD - параллелограмм. 10. В параллелограмме противоположные стороны параллельны. Следовательно, AB || CD. Что и требовалось доказать.