4. В треугольнике ABC внешние углы при вершинах А и С равны 150°, AB = 44. Найдите длину биссектрисы BK.

Решение:

Внешний угол при вершине равен 150°, значит, внутренний угол равен 180° - 150° = 30°.

В треугольнике ABC:

• Угол А = 30°.
• Угол С = 30°.
• Угол B = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°.

Треугольник ABC — равнобедренный (углы при основании равны).

BK — биссектриса угла B. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.

Следовательно, BK делит основание AC пополам и перпендикулярна AC.

В прямоугольном треугольнике ABK:

• Угол BAK = 30°.
• Угол ABK = 120° / 2 = 60°.
• AB = 44 (гипотенуза).

Найдем длину катета BK, противолежащего углу A:

\( BK = AB \cdot \sin(30^{\circ}) \)

\( BK = 44 \cdot \frac{1}{2} \)

\( BK = 22 \)

Ответ: 22.