8. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см. Диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите площадь полной поверхности данной призмы.

Решение:

Обозначим правильную треугольную призму как ABC A₁B₁C₁.

Сторона основания \( a = 8 \) см.

Диагональ боковой грани, например, AC₁, образует с плоскостью основания (ABC) угол 30°.

Проекция диагонали AC₁ на плоскость основания — это сторона основания AC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC₁ (угол ACC₁ = 90°).

Угол CAC₁ = 30°.

Найдем высоту призмы h (сторону CC₁):

\( \tan(30^{\circ}) = \frac{CC_1}{AC} \)

\( \tan(30^{\circ}) = \frac{h}{a} \)

\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{8} \)

\( h = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \) см.

Теперь найдем площадь полной поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \) равна произведению периметра основания на высоту:

Периметр основания \( P = 3a = 3 \cdot 8 = 24 \) см.

\( S_{бок} = P \cdot h = 24 \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} = 8 \cdot 8\sqrt{3} = 64\sqrt{3} \) см².

Площадь основания \( S_{осн} \) правильного треугольника:

\( S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \) см².

Площадь полной поверхности \( S_{полн} \) равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:

\( S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} \)

\( S_{полн} = 64\sqrt{3} + 2 \cdot 16\sqrt{3} = 64\sqrt{3} + 32\sqrt{3} = 96\sqrt{3} \) см².

Ответ: 96√3 см².