4. В треугольнике АВС известно, что АС = 7, ∠A = 60°, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Дано:

• Треугольник ABC.
• AC = 7.
• ∠A = 60°.
• ∠C = 90°.

Найти: Радиус описанной окружности (R).

Решение:

1. Тип треугольника: Треугольник ABC — прямоугольный, так как ∠C = 90°.
2. Свойство описанной окружности: В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности.
3. Нахождение гипотенузы AB: В прямоугольном треугольнике, если известны один катет и угол, можно найти гипотенузу. Используем теорему синусов: \[ \frac{AC}{\sin(∠B)} = \frac{AB}{\sin(∠C)} \]
4. Нахождение ∠B: Сумма углов в треугольнике равна 180°. ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°.
5. Расчет AB: \[ \frac{7}{\sin(30°)} = \frac{AB}{\sin(90°)} \] \[ \frac{7}{1/2} = \frac{AB}{1} \] \[ AB = 7 \times 2 = 14 \]
6. Радиус описанной окружности: Радиус R равен половине гипотенузы AB.
7. R = AB / 2 = 14 / 2 = 7

Ответ: R = 7