7. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 10 и 21, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Дано:

• Равнобедренный треугольник ABC (AC — основание).
• Вписанная окружность касается боковой стороны AB в точке K.
• AK = 21, KB = 10.

Найти: Периметр треугольника P = AB + BC + AC.

Решение:

1. Свойства касательных: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
2. Обозначения:
• Пусть точка касания на стороне BC будет M, а на стороне AC будет N.
• Тогда AK = AN = 21 (касательные из вершины A).
• KB = BN = 10 (касательные из вершины B).
• NC = CM (касательные из вершины C).
3. Стороны треугольника:
• AB = AK + KB = 21 + 10 = 31.
• Поскольку треугольник равнобедренный, BC = AB = 31.
• AC = AN + NC = 21 + NC.
4. Равенство отрезков: Так как AB = BC, то AK + KB = BN + NC.
5. 31 = 10 + NC.
6. NC = 31 - 10 = 21.
7. Следовательно, CM = 21.
8. AC = AN + NC = 21 + 21 = 42.
9. Периметр:
• P = AB + BC + AC = 31 + 31 + 42 = 104.

Ответ: Периметр треугольника равен 104.