8. В треугольник АВС с прямым углом С вписана окружность с центром О, касающаяся сторон АВ, ВС и СА в точках D, Е и F соответственно. Известно, что OC =2√2 Найдите: а) радиус окружности; б) углы EOF и EDF.

Краткая запись:

• Прямоугольный треугольник ABC, \(\angle C = 90^{\circ}\)
• Вписанная окружность с центром O
• Точки касания: D (на AB), E (на BC), F (на AC)
• OC = \( 2\sqrt{2} \)
• Найти: a) радиус (r); б) \(\angle EOF\), \(\angle EDF\)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим четырехугольник OECF. Так как окружность вписана, OE \(\perp\) BC и OF \(\perp\) AC. Угол C прямой (90°). Четырехугольник OECF имеет три прямых угла, следовательно, это прямоугольник. Так как OE = OF = r (радиусы), то OECF — квадрат.
2. Шаг 2: В квадрате OECF диагональ OC соединяет вершину C с центром окружности O. По условию, OC = \( 2\sqrt{2} \).
3. Шаг 3: В квадрате диагональ связана со стороной соотношением \( d = r\sqrt{2} \). Подставляем значение OC:
   \( 2\sqrt{2} = r\sqrt{2} \).
4. Шаг 4: Находим радиус окружности (r):
   \( r = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 \) см.
5. Шаг 5: Находим угол EOF. В квадрате OECF диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. Угол EOF — это угол между диагоналями, который равен 90°.
6. Шаг 6: Находим угол EDF. Точка D лежит на гипотенузе AB. Угол EDF является вписанным углом, опирающимся на дугу EF. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, — это угол EOF.
7. Шаг 7: Угол EDF равен половине центрального угла EOF:
   \( \angle EDF = \frac{1}{2} \angle EOF = \frac{1}{2} \cdot 90^{\circ} = 45^{\circ} \).

Ответ:
a) Радиус окружности r = 2 см
б) \(\angle EOF = 90^{\circ}\), \(\angle EDF = 45^{\circ}\)