5. Дан прямоугольный треугольник АВС, у которого С-прямой, катет ВС=6 см и А=60°. Найдите: a) остальные стороны ДАВС б) площадь ДАВС в) длину высоты, опущенной из вершины С.

Краткая запись:

• Прямоугольный треугольник АВС
• \(\angle C = 90^{\circ}\), BC = 6 см, \(\angle A = 60^{\circ}\)
• Найти: AC, AB, S, h_c

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим угол B. Сумма углов в треугольнике равна 180°. В прямоугольном треугольнике \( \angle A + \angle B = 90^{\circ} \).
   \( 60^{\circ} + \angle B = 90^{\circ} \) \( \angle B = 30^{\circ} \).
2. Шаг 2: Находим катет AC. Используем тангенс угла A: \( \tan(A) = \frac{BC}{AC} \).
   \( \tan(60^{\circ}) = \frac{6}{AC} \).
   \( \sqrt{3} = \frac{6}{AC} \) \( AC = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) см.
3. Шаг 3: Находим гипотенузу AB. Используем синус угла A: \( \sin(A) = \frac{BC}{AB} \).
   \( \sin(60^{\circ}) = \frac{6}{AB} \).
   \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{AB} \) \( AB = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \) см.
4. Шаг 4: Находим площадь треугольника (S). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \).
   \( S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6 = 6\sqrt{3} \) см².
5. Шаг 5: Находим высоту h_c, опущенную из вершины C. Площадь треугольника также можно выразить как \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{c} \).
   \( 6\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot h_{c} \) \( 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot h_{c} \) \( h_{c} = \frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 3 \) см.

Ответ:
a) AC = \( 2\sqrt{3} \) см, AB = \( 4\sqrt{3} \) см
б) Площадь S = \( 6\sqrt{3} \) см²
в) Высота h_c = 3 см