4*. В треугольнике MNK точка O — точка пересечения медиан, MN = x, MK = y, MO = k · (x + y). Найдите число k.

Пусть \(P\) — середина \(NK\). Тогда \(\overrightarrow{MP}=\frac12(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MK})=\frac12(\vec x+\vec y)\). Точка пересечения медиан делит медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины, поэтому:

\(\overrightarrow{MO}=\frac23\overrightarrow{MP}=\frac23\cdot\frac12(\vec x+\vec y)=\frac13(\vec x+\vec y)\).

Сравнивая с \(\overrightarrow{MO}=k(\vec x+\vec y)\), получаем \(k=\frac13\).

Ответ: \(k=\frac13\).