4. В треугольнике MNP точка K лежит на стороне MN, причём ∠NKP — острый. Докажите, что KP < MP.

Так как K лежит на стороне MN, точки M, K, N расположены на одной прямой, а лучи KM и KN противоположны.

Поэтому углы \(\angle MKP\) и \(\angle NKP\) смежные. Если \(\angle NKP\) острый, то \(\angle MKP=180^\circ-\angle NKP\) — тупой.

В треугольнике MKP напротив большего угла лежит большая сторона. Напротив тупого угла MKP лежит MP, а напротив угла M — KP. Следовательно, \(KP<MP\), что и требовалось доказать.