4. В треугольнике МРК проведены высоты МО и РН. Найдите ∠MPO и ∠KPH, если даны два угла: ∠MKP = 40°, ∠KMP = 30°.

Решение:

В треугольнике МРК:

\( \angle MKP = 40° \)

\( \angle KMP = 30° \)

Сумма углов треугольника равна 180°.

\( \angle MPK = 180° - (\angle MKP + \angle KMP) \)

\( \angle MPK = 180° - (40° + 30°) \)

\( \angle MPK = 180° - 70° \)

\( \angle MPK = 110° \)

МО — высота, значит, \( \angle MOP = 90° \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник MPO:

\( \angle MPO = 180° - \angle PMO - \angle MOP \)

\( \angle MPO = 180° - 90° - \angle KMP \) (так как \( \angle KMP \) является частью \( \angle MPK \), а \( \angle PMO \) в данном случае это \( \angle KMP \))

\( \angle MPO = 180° - 90° - 30° \)

\( \angle MPO = 60° \)

РН — высота, значит, \( \angle RNH = 90° \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник KPH:

\( \angle KPH = 180° - \angle PHK - \angle PKH \)

\( \angle KPH = 180° - 90° - \angle MKP \)

\( \angle KPH = 180° - 90° - 40° \)

\( \angle KPH = 50° \)

Ответ: \( \angle MPO = 60°, \angle KPH = 50° \).