№ 4. В треугольнике RQS известно, что QS = 10, ZQ = 60°, ZS = 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Пошаговое решение:

1. Треугольник RQS является прямоугольным, так как угол S равен 90°.
2. QS является гипотенузой этого треугольника.
3. По теореме синусов для треугольника RQS:
• \[ \frac{RQ}{\sin S} = \frac{QS}{\sin R} = \frac{RS}{\sin Q} = 2r \]
4. где r — радиус описанной окружности.
5. Нам дан QS = 10, ∠Q = 60°, ∠S = 90°.
6. Сумма углов треугольника равна 180°.
7. ∠R = 180° - ∠Q - ∠S = 180° - 60° - 90° = 30°.
8. Используем теорему синусов:
• \[ \frac{QS}{\sin R} = 2r \]
• \[ \frac{10}{\sin 30°} = 2r \]
• \[ \frac{10}{1/2} = 2r \]
• \[ 20 = 2r \]
• \[ r = 10 \]
9. Альтернативный способ: В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности.
10. Гипотенуза QS = 10.
11. Диаметр (d) = 10.
12. Радиус (r) = d / 2 = 10 / 2 = 5.
13. Ошибка в рассуждении. QS не является гипотенузой, так как угол S = 90°. Гипотенуза — сторона, противолежащая прямому углу. В данном случае, это сторона RS.
14. В треугольнике RQS, ∠S = 90°. Следовательно, гипотенузой является сторона RQ.
15. QS = 10, ∠Q = 60°, ∠R = 30°.
16. Используем теорему синусов:
• \[ \frac{QS}{\sin R} = 2r \]
• \[ \frac{10}{\sin 30°} = 2r \]
• \[ \frac{10}{1/2} = 2r \]
• \[ 20 = 2r \]
• \[ r = 10 \]
17. Проверим:
18. RQ — гипотенуза.
19. \[ \frac{RQ}{\sin 90°} = 2r \]
20. \[ RQ = 2r \]
21. \[ \frac{RS}{\sin 60°} = 2r \]
22. \[ RS = 2r \sin 60° \]
23. \[ \frac{QS}{\sin 30°} = 2r \]
24. QS = 10, sin 30° = 1/2.
25. \[ \frac{10}{1/2} = 2r \]
26. 20 = 2r
27. r = 10.
28. Гипотенуза RQ = 2r = 20.
29. RS = 2r * sin 60° = 20 * (sqrt(3)/2) = 10*sqrt(3).
30. Проверим по теореме Пифагора: RQ² = RS² + QS².
31. 20² = (10*sqrt(3))² + 10².
32. 400 = 100*3 + 100.
33. 400 = 300 + 100.
34. 400 = 400. Верно.

Ответ: 10