4. В треугольнике сторона равна 14 см, а прилежащие к ней углы — 30° и 105°. Найдите остальные стороны и третий угол.

Найдём третий угол:

\[\gamma=180^\circ-30^\circ-105^\circ=45^\circ.\]

Сторона 14 см лежит напротив угла 45°. По теореме синусов:

\[\frac{14}{\sin45^\circ}=\frac{a}{\sin30^\circ}=\frac{b}{\sin105^\circ}.\]

Сторона, лежащая напротив угла 30°:

\[a=\frac{14\sin30^\circ}{\sin45^\circ}=\frac{14\cdot\frac12}{\frac{\sqrt2}{2}}=7\sqrt2\text{ см}.\]

Сторона, лежащая напротив угла 105°:

\[b=\frac{14\sin105^\circ}{\sin45^\circ}=14\sqrt2\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}=7(\sqrt3+1)\text{ см}.\]

Ответ: третий угол — 45°, остальные стороны — \(7\sqrt2\) см и \(7(\sqrt3+1)\) см.