4. В \(\triangle ABC\): \(\overrightarrow{BA}=\vec b\) и \(\overrightarrow{CA}=\vec a\), \(BB_1\) — медиана. Выразить \(\overrightarrow{BB_1}\) через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\).

Так как \(\overrightarrow{CA}=\vec a\), то \(\overrightarrow{AC}=-\vec a\). По правилу сложения векторов:

\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\vec b-\vec a.\)

Медиана делит сторону \(AC\) пополам, поэтому вектор от вершины \(B\) к середине этой стороны равен полусумме векторов \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\):

\(\overrightarrow{BB_1}=\frac12(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})=\frac12(\vec b+\vec b-\vec a)=\vec b-\frac12\vec a.\)

Ответ: \(\overrightarrow{BB_1}=\vec b-\frac12\vec a\).